Question

（2007•紅橋區一模）如圖：△ABC為邊長是a的等邊三角形，△ABC所在平面外兩點E、F滿足BE⊥平面ABC，CF⊥平面ABC，且CF=AB=2BE，M為AC中點．
（1）求證：AF⊥BM；
（2）求平面AEF與平面ABC所成的二面角；
（3）求該幾何體的體積．

Answer 1

分析：（1）由于CF⊥平面ABC，所以AC是AF在平面ABC的射影，通過BM⊥AC證出AF⊥BM．
（2）延長FE、CB交于一點N，則AN是平面AEF與平面ABC的交線．通過AN⊥AC，AN⊥FA，得出∠FAC為所求二面角的平面角，易得∠FAC=45°．
（3）V=V_F-CAN-V_E-ABN，

解答：（本小題滿分12分）
解：（1）∵CF⊥平面ABC，∴AC是AF在平面ABC的射影
∵△ABC為邊長是a的等邊三角形，M為AC中點
∴BM⊥AC，∴AF⊥BM----------------------（3分）
（2）延長FE、CB交于一點N，則AN是平面AEF與平面ABC的交線
∵BE⊥平面ABC，CF⊥平面ABC
∴BE∥CF，∵CF=AB=2BE，∴BE是△FCN的中位線B是CN的中點，
∴AN∥BM，AN⊥AC
∴AN⊥FA，∴∠FAC為所求二面角的平面角-----------（6分）
∵CF=AC，∴∠FAC=45°----------------------------（7分）
（3）V=V_F-CAN-V_E-ABN--------------------------------（9分）
=

1

3

×

1

2

×a×

3

a ×a-

1

3

×

1

2

×2a×a×sin120°×

1

2

a--------（11分）
=

3

6

a3-

3

12

a3=

3

12

a3----------------（12分）
注：第（2）問利用cosθ=

S′

S

指明S′，S也可；第（3）問
可用分割的方法，相應給分．

點評：本題考查空間直線、平面位置關系的判斷，空間角、體積求解，考查空間想象能力、推理論證、計算、轉化能力．