Question

已知點P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0，若直線l過點P且被圓C截得的線段長為4

3

，求l的方程．

Answer 1

分析：將圓V方程化為標準方程，找出圓心C坐標與半徑r，根據題意畫出相應的圖形，取AB的中點為D，連接CD，可得出CD垂直于AB，得出|AD|與|AC|的長，利用勾股定理求出|CD|的長，然后分兩種情況考慮：（i）直線l斜率存在時，設斜率為k，表示出l方程，由C到l的距離為2，利用點到直線的距離公式求出k的值，確定出此時l的方程；（ii）當直線l的斜率不存在時，直線x=0滿足題意，綜上，得到所求的直線方程．

解答：解：將圓C方程化為標準方程得：（x+2）²+（y-6）²=16，
∴圓心C坐標為（-2，6），半徑r=4，
如圖所示，|AB|=4

3

，取AB的中點D，連接CD，可得CD⊥AB，連接AC、BC，
∴|AD|=

1

2

|AB|=2

3

，|AC|=4，
在Rt△ACD中，由勾股定理得：|CD|=2，
分兩種情況考慮：
（i）當直線l的斜率存在時，設所求直線的斜率為k，
則直線的方程為y-5=kx，即kx-y+5=0，
由點C到直線AB的距離公式，得

|-2k-6+5|

k2+(-1)2

=2，
解得：k=

3

4

，
當k=

3

4

時，直線l的方程為3x-4y+20=0；
（ii）直線l的斜率不存在時，也滿足題意，此時方程為x=0，
綜上，所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0．

點評：此題考查了直線與圓的位置關系，涉及的知識有：垂徑定理，勾股定理，點到直線的距離公式，利用了數形結合及分類討論的思想，是一道綜合性較強的試題．