Question

設(shè)f（x），g（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，且f′（x）g（x）-f（x）g′（x）＜0，則當(dāng)a＜x＜b時(shí)，下列結(jié)論中正確的是（　　）

A．f（x）g（x）＞f（b）g（b）

B．f（x）g（a）＞f（a）g（x）

C．f（x）g（b）＞f（b）g（x）

D．f（x）g（x）＞f（a）g（a）

Answer 1

分析：構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

，求導(dǎo)可判函數(shù)F（x）為R上單調(diào)遞減的函數(shù)，結(jié)合a＜x＜b可得

f(a)

g(a)

＞

f(x)

g(x)

＞

f(b)

g(b)

，由題意結(jié)合選項(xiàng)分析，可得答案．

解答：解：由題意構(gòu)造函數(shù)F（x）=

f(x)

g(x)

則其導(dǎo)函數(shù)F′（x）=

f′(x)g(x)-f(x)g′(x)

[g(x)]2

＜0，
故函數(shù)F（x）為R上單調(diào)遞減的函數(shù)，
∵a＜x＜b，∴F（a）＞F（x）＞F（b），
即

f(a)

g(a)

＞

f(x)

g(x)

＞

f(b)

g(b)

，
又f（x），g（x）是定義域?yàn)镽的恒大于零的可導(dǎo)函數(shù)，
對(duì)式子的后半部分兩邊同乘以g（b）g（x）可得f（x）g（b）＞f（b）g（x）．
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查構(gòu)造函數(shù)證明不等式，涉及商的導(dǎo)數(shù)，屬基礎(chǔ)題．