Question

對于函數 ，若存在，使成立，則稱為的不動點．如果函數有且僅有兩個不動點0，2，且．

（1）     求函數的單調區間；

（2）     已知數列各項不為零且不為1，滿足，求證：；

設，為數列的前項和，求證：

 

Answer 1

【答案】

解：（1）設，

所以，所以，由，

又，所以，所以，

于是，

于是易求得的增區間為，減區間為………… 4分

（2）由已知可得，當時，

兩式相減得，所以或

當時，，若，則與矛盾，

所以，從而，于是要證的不等式即為，于是我們可以考慮證明不等式：，令，則，

再令，由知，所以當時，單調遞增，所以，于是，即①

令，當時，單調遞增，所以，于是，即②

由①②可知，所以，

即原不等式成立。                                              ………… 9分

（3）由（2）可知，，在中，令，并將各式相加得

即

【解析】略