Question

已知△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且

tanA-tanB

tanA+tanB

=

b+c

c

．
（1）求角A；
（2）若

BA

•

AC

=6，求a的最小值．

Answer 1

分析：（1）把等號左邊的切換成正余弦，把等號右邊利用正弦定理把便當問題轉化成角的正弦，進而化簡整理求得2cosAsinB=-sinB進而求得cosA的值，則A可得．
（2）利用平面向量的數量積的運算，求得bc的值，進而利用余弦定理建立等式，利用基本不等式求得a的最小值．

解答：解：（1）∵

tanA-tanB

tanA+tanB

=

b+c

c

∴

sinAcosB-sinBcosA

sinAcosB+sinBcosA

=

sinB+sinC

sinC

∴

sinAcosB-sinBcosA

sin(A+B)

=

sinB+sinC

sinC

∵sin（A+B）=sinC＞0
∴sinAcosB-sinBcosA=sinB+sin（A+B）
∴2cosAsinB=-sinB
∵sinB＞0∴cosA=-

1

2

∵A∈（0，π）∴A=

2π

3

（2）

∵BA

•

AC

=6
∴bc•cos60°=6
∴bc=12
∵a²=b²+c²-2bccosA
∴a²=b²+c²+bc≥3bc=36
當且僅當b=c=2

3

時，a_min=6．

點評：本題主要考查了正弦定理的應用，基本不等式的求最值，以及平面向量的數量積．考查了學生綜合分析問題和基本的運算能力．