Question

(本小題滿分14分)
已知橢圓G與雙曲線有相同的焦點，且過點．
(1)求橢圓G的方程；
(2)設、是橢圓G的左焦點和右焦點，過的直線與橢圓G相交于A、B兩點，請問的內切圓M的面積是否存在最大值？若存在，求出這個最大值及直線的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1)雙曲線的焦點坐標為，所以橢圓的焦點坐標為………………1分
設橢圓的長軸長為，則，即，
又，所以  ∴橢圓G的方程………………5分
(2)如圖,設內切圓M的半徑為,與直線的切點為C，則三角形的面積等于的面積+的面積+的面積.
即
當最大時,也最大, 內切圓的面積也最大, ………………7分
設、(),則,
由,得,………………9分
解得,,
∴,令,則,且,
有,令,則,……………11分
當時,,在上單調遞增,有,,
即當,時,有最大值,得,這時所求內切圓的面積為,……………12分
∴存在直線,的內切圓M的面積最大值為. ………………13分

略