Question

已知函數。
（Ⅰ）若,求函數的單調區間并比較與的大小關系
（Ⅱ）若函數的圖象在點處的切線的傾斜角為，對于任意的，函數在區間上總不是單調函數，求的取值范圍；
（Ⅲ）求證：。

Answer 1

（I）的單調增區間為；減區間為,.
（II）.
（III）證明見解析.

試題分析：（I）通過求導數，解得增區間；解得減區間.
駐點處得到最小值，比較得到.
（II）通過確定，.
根據在區間上總不是單調函數，且，
得到，轉化成“對于任意的恒成立”
依據，求得的范圍.
解答本題的關鍵是將問題加以轉化，應用導數知識予以處理.
（III）利用時，，得到對一切成立.
從而應用對乘積式中的各個因子進行“放縮”，達到證明目的.
∴=.
試題解析：（I）當時.
令，解得；令，解得，
所以，的單調增區間為；減區間為
所以，所以.
（II）∵
∴，得
∴，.
∵在區間上總不是單調函數，且，
∴
由題意知：對于任意的恒成立，
所以有，∴
（III）證明如下：由（1）可知
當時，，即，
∴對一切成立，
∵，則有，∴，
∴=.
故.