Question

已知二次項系數為1的二次函數，當且僅當x∈（0，2）時f（x）＜0，數列的前n項和為，點均在函數的圖像上 

（Ⅰ）求數列的通項公式；

（Ⅱ）設，是數列的前n項和，求使得對所有都成立的最大正整數m；

Answer 1

解：（Ⅰ）設這二次函數為f(x)＝x²+bx+c ， 由f（x）＜0的解集為（0，2），得

b=－2, c=0，所以  f(x)＝x²－2x 

又因為點均在函數的圖像上，所以＝n²－2n 

當n≥2時，a_n＝S_n－S_n－1＝（n²－2n）－＝2n－3 

當n＝1時，a₁＝S₁＝1²－2＝－1，所以，a_n＝2n－3（n∈N₊）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，＝＝，

故T_n＝＝-3+＝-3+（1－） 

因此，要使（）成立的m,必須且僅須滿足≤，

即m≤30，所以滿足要求的最大正整數m為30