Question

已知函數f（x）=a+bsinx+ccosx（其中b＞0）的圖象經過點A（0，1）、B（

π

2

，1）．當x∈[0，

π

2

]時，f（x）的最大值為2

2

-1．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）由y=sinx的圖象經過怎樣的變換可得到f（x）的圖象．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由函數圖象過A和B兩點，把A和B兩點代入函數解析式中，得到兩個方程，兩方程相減可得b=c，把函數解析式中的c化為b，后兩項提取

2

，利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，根據x的范圍，利用正弦函數的值域表示出函數的最大值，與已知的最大值相等列出關于a與b的方程，與前面得到關系式a+b=1聯立組成方程組，求出方程組的解得到a與b的值，代入可確定出函數的解析式；
（Ⅱ）分三步平移，（i）先由y=sinx圖象上所有點向左平移

π

4

個單位；（ii）由第一步平移后函數圖象上所有點的縱坐標變為原來的2

2

倍；（iii）最后再由第二步平移后函數的圖象上所有點向下平移一個單位，可得出函數f（x）的圖象．

解答：解：（Ⅰ）∵函數圖象過點A（0，1）、B（

π

2

，1），
把兩點坐標代入函數解析式得：

a+c=1① a+b=1②

，
①-②得：c-b=0，即b=c，
∴f(x)=a+bsinx+bcosx=a+

2

bsin(x+

π

4

)(b＞0)，
∵當x∈[0，

π

2

]時，f(x)的最大值為2

2

-1，
∴

2

b+a=2

2

-1③，
聯立②③，解得：

a=-1 b=2

，
則f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1；
（Ⅱ）分三步平移：
（i）由y=sinx圖象上所有點向左平移

π

4

個單位得到f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象；
（ii）由f(x)=sin(x+

π

4

)的圖象上所有點的縱坐標變為原來的2

2

倍，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象；
（iii）由f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)的圖象上所有點向下平移一個單位，得到f(x)=2

2

sin(x+

π

4

)-1的圖象．

點評：此題考查了兩角和與差的正弦函數公式，特殊角的三角函數值，以及三角函數的圖象變換規律，熟練掌握公式是解本題的關鍵．