Question

已知圓M的圓心M在y軸上，半徑為1．直線l：y=2x+2被圓M所截得的弦長為

4 5

5

，且圓心M在直線l的下方．
（1）求圓M的方程；
（2）設A（t，0），B（t+5，0）（-4≤t≤-1），若AC，BC是圓M的切線，求△ABC面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）設圓心M（0，b），利用M到l：y=2x+2的距離，結合直線l被圓M所截得的弦長為

4 5

5

，求出M坐標，然后求圓M的方程；
（2）當直線AC，BC的斜率都存在時，求出設AC斜率，BC斜率為k₂，推出直線AC、直線BC的方程，求出△ABC的面積S的表達式，從而求出面積的最小值，再考慮斜率不存在時的情形，從而得解．

解答：解：（1）設M（0，b）由題設知，M到直線l的距離是

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

…（2分）
所以

|-b+2|

5

=

5

5

，解得b=1或b=3…（4分）
因為圓心M在直線l的下方，所以b=1，
即所求圓M的方程為x²+（y-1）²=1…（6分）
（2）當直線AC，BC的斜率都存在，即-4＜t＜-1時
直線AC的斜率k_AC=tan2∠MAO=

- 2 t

1- 1 t2

=

-2t

t2-1

，
同理直線BC的斜率k_BC=

-2(t+5)

(t+5)2-1

…（8分）
所以直線AC的方程為y=

-2t

t2-1

（x-t），
直線BC的方程為y=

-2(t+5)

(t+5)2-1

（x-t-5）…（10分）
解方程組

y= -2t t2-1 (x-t) y= -2(t+5) (t+5)2-1 (x-t-5)

得x=

2t+5

t2+5t+1

，y=

2t2+10t

t2+5t+1

…（12分）
所以y=

2t2+10t

t2+5t+1

=2-

2

t2+5t+1

因為-4≤t≤-1
所以-

21

4

≤t²+5t+1＜-3
所以

50

21

≤y＜

8

3

．
故當t=-

5

2

時，△ABC的面積取最小值

1

2

×5×

50

21

=

125

21

．…（14分）
當直線AC，BC的斜率有一個不存在時，即t=-4或t=-1時，易求得△ABC的面積為

20

3

．
綜上，當t=-

5

2

時，△ABC的面積的最小值為

125

21

．…（16分）

點評：本題以圓的弦長為載體，考查直線與圓的位置關系，三角形面積的最值的求法，考查計算能力．