Question

已知P是圓M：x²+y²+4x+4-4m²=0(m>0且m≠2)上任意一點(diǎn)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，0)，線段NP的垂直平分線交直線MP于點(diǎn)Q，當(dāng)點(diǎn)P在圓M上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡為C.
（1）求出軌跡C的方程，并討論曲線C的形狀；
（2）當(dāng)m=時(shí)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)E，使得對(duì)曲線C的任意一條過E的弦AB，為定值？若存在，求出定點(diǎn)和定值；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

（1）當(dāng)m>2，，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為；
當(dāng)m<2，軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為；
（2）定點(diǎn)，定值為6.

解析試題分析：（1）利用線段的垂直平分線交直線于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，即可求出軌跡的方程；當(dāng)時(shí)，根據(jù)雙曲線的定義，即可求出軌跡的方程；（2）當(dāng)時(shí)，軌跡必為橢圓方程，設(shè)，分別過E取兩垂直與坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，根據(jù)求出E若存在必為定值為6.再進(jìn)行證明．存在性問題，先猜后證是關(guān)鍵.再設(shè)設(shè)過點(diǎn)E的直線方程，代入橢圓方程，消去，設(shè)，，利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，求得為定值6.
（1）由題意，，所以，
所以軌跡是以、為焦點(diǎn)，以為長(zhǎng)軸的橢圓，
當(dāng)m>2，，軌跡是以、為焦點(diǎn)的橢圓，其方程為；
當(dāng)m<2，軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，其方程為（4分）
（2）由（1）當(dāng)時(shí)，曲線C為，
設(shè)，分別過E取兩垂直于坐標(biāo)軸的兩條弦CD，，
則，即
解得，∴E若存在必為定值為6.（6分）
下證滿足題意.
設(shè)過點(diǎn)E的直線方程為，代入C中得:
，設(shè)、，
則，，（8分）


.
同理可得E也滿足題意.
綜上得定點(diǎn)為E，定值為（13分）
考點(diǎn)：直線和圓的方程的應(yīng)用，圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程，軌跡方程的問題.