Question

（1）已知f（x）為一次函數(shù)，f[f（x）]=2x-1，求f（x）的解析式．
（2）函數(shù)y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)f（x）=x²-2x-3，求函數(shù)y=f（x）的解析式．
（3）已知a，b為常數(shù)，若f（x）=x²+4x+3，f（ax+b）=x²+10x+24，求5a-b的值．

Answer 1

分析：（1）運(yùn)用待定系數(shù)法，設(shè)一次函數(shù)為f（x）=ax+b，代入已知后通過比較系數(shù)列方程求出a、b即可
（2）運(yùn)用對(duì)稱性求解析式，先確定f（0）=0，再設(shè)x＜0，利用奇函數(shù)性質(zhì)和x＞0時(shí)f（x）=x²-2x-3，求出x＜0時(shí)函數(shù)解析式，最后將函數(shù)解析式合成分段函數(shù)
（3）運(yùn)用待待定系數(shù)法，將ax+b代入f（x）=x²+4x+3，化簡(jiǎn)后比較系數(shù)，列方程求出a、b即可

解答：解：（1）設(shè)f（x）=ax+b，則f（f（x））=a（ax+b）+b=a²x+ab+b
∵f[f（x）]=2x-1，∴a²x+ab+b=2x-1
∴a²=2且ab+b=-1，解得a=

2

，b=1-

2

或a=-

2

，b=1+

2

∴f(x)=

2

x+1-

2

或f(x)=-

2

x+1+

2

（2）∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)，∴f（0）=0
下面求x＜0時(shí)函數(shù)解析式
設(shè)x＜0，則-x＞0
∴f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3
∵y=f（x）是（-∞，+∞）上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）
∴x＜0時(shí)函數(shù)解析式f（x）=-x²-2x+3
∴函數(shù)y=f（x）的解析式為

x2-2x-3     (x＞0) 0              (x=0) -x2-2x+3   (x＜0)

（3）∵f（x）=x²+4x+3
∴f（ax+b）=（ax+b）²+4（ax+b）+3=a²x²+（2ab+4a）x+b²+4b+3=x²+10x+24
∴

a2=1 2ab+4a=10 b2+4b+3=24

，解得

a=1 b=3

或

a=-1 b=-7

∴5a-b=2

點(diǎn)評(píng)：本題考察了求函數(shù)解析式的方法，待定系數(shù)法，對(duì)稱性法，配湊法等，解題時(shí)要?dú)w納解題規(guī)律，認(rèn)清形式，準(zhǔn)確選擇恰當(dāng)方法解決問題．