Question

（2012•咸陽三模）如圖直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一點，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求證：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）在棱BB₁是否存在一點E，使平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°，若存在，試確定E點的位置，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）證明BC⊥平面ABB₁A₁，利用線面垂直的判定，證明AD⊥BC，AA₁⊥BC即可；
（2）建立空間直角坐標系，用坐標表示點與向量，設存在滿足條件的點E坐標為（0，0，a）（0＜a＜2），求出平面ABB₁A₁的法向量

BC

=(0，

2

，0)，平面ACE的法向量

n

=(a，a，

2

)，利用平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°，結合向量的夾角公式，即可求得結論．

解答：（1）證明：∵AD⊥平面A₁BC，BC?平面A₁BC
∴AD⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，∴AA₁⊥平面ABC，
∵BC?平面ABC，∴AA₁⊥BC．
∵AD∩AA₁=A，AD?平面ABB₁A₁，AA₁?平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．
（2）解：∵BC⊥平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁
∴BC⊥AB．
又BB₁⊥AB，BB₁⊥BC，于是可建立如圖所示的空間直角坐標系B-xyz．
∵△ABC是等腰直角三角形，且斜邊AC=2，
∴AB=BC=

2

．
從而，A(

2，

，0，0)，B(0，0，0)，C(0，

2

，0)
設存在滿足條件的點E坐標為（0，0，a）（0＜a＜2）
由（1）知平面ABB₁A₁的法向量

BC

=(0，

2

，0)，
令平面ACE的法向量

n

=(x，y，z)，由

n • AC =0 n • AE =0

，可得

- 2 x+ 2 y=0 - 2 x+az=0

令z=

2

得

n

=(a，a，

2

)．
∵平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°
∴|cos?

n，

BC

＞|=

2 a

2 2a2+2

=

1

2

，解得a=1
所以當E為棱BB₁中點時平面AEC與平面ABB₁A₁的夾角等于60°．

點評：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決立體幾何問題，正確掌握線面垂直的判定定理，合理建立空間直角坐標系是關鍵．