Question

平面上有n個圓，其中每兩個都相交于兩點，每三個都無公共點，它們將平面分成f（n）塊區域，有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=8，則f（n）=

1. A.
   2ⁿ
2. B.
   n²-n+2
3. C.
   2ⁿ-（n-1）（n-2）（n-3）
4. D.
   n³-5n²+10n-4

Answer 1

B
分析：我們由兩個圓相交將平面分為4塊區域，三個圓相交將平面分為8塊區域，四個圓相交將平面分為14部分，我們進行歸納推理，易得到結論．
解答：∵一個圓將平面分為2塊區域，即f（1）=2=1²-1+2，
兩個圓相交將平面分為4=2+2塊區域，即f（2）=2+2=2²-2+2，
三個圓相交將平面分為8=2+2+4塊區域，即f（3）=2+2×3=3²-3+2，
四個圓相交將平面分為14=2+2+4+6塊區域，即f（4）=2+3×4=4²-4+2，
…
平面內n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且任意三個圓不相交于同一點，
則該n個圓分平面區域數f（n）=n²-n+2
故選B．
點評：本題主要考查了歸納推理、進行簡單的合情推理．歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發現某些相同性質；（2）從已知的相同性質中推出一個明確表達的一般性命題（猜想）．