Question

【題目】如下圖，已知四棱錐中，底面為菱形，平面，，，分別是，的中點(diǎn).

（I）證明：平面；

（II）取，在線段上是否存在點(diǎn)，使得與平面所成最大角的正切值為，若存在，請求出點(diǎn)的位置；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（I）證明見解析；（II）存在且.

【解析】

試題分析：（I）先證明，再證明，所以有平面，所以，所以平面；（II）設(shè)線段上存在一點(diǎn)，連接，.由（I）知，平面，則為與平面所成的角.當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí).

試題解析：

證明：由四邊形為菱形，，可得為正三角形，

因?yàn)?/span>為的中點(diǎn)，所以.

又，因此.

因?yàn)?/span>平面，平面，

所以.

而平面，平面，，

所以平面.

（II）解：設(shè)線段上存在一點(diǎn)，連接，.

由（I）知，平面，

則為與平面所成的角.

在中，，

所以當(dāng)最短時(shí)，即當(dāng)時(shí)，最大，

此時(shí)，因此.

所以，線段上存在點(diǎn)，

當(dāng)時(shí)，使得與平面所成最大角的正切值為.