Question

已知函數=,=,若曲線和曲線都過點P(0,2),且在點P處有相同的切線.

(Ⅰ)求,,,的值;

(Ⅱ)若時,≤,求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)=4,=2,=2,=2；(Ⅱ)

【解析】

試題分析：(Ⅰ)求四個參數的值，需尋求四個獨立的條件，依題意代入即可求出的值；(Ⅱ)構造函數，轉化為求函數的最值，記==()，由已知，只需令的最小值大于0即可，先求的根，得，只需討論和定義域的位置，分三種情況進行，當時，將定義域分段，分別研究其導函數的符號，進而求最小值；當時，的符號確定，故此時函數具有單調性，利用單調性求其最小值即可.

試題解析：(Ⅰ) 由已知得,而，代入得，故=4,=2,=2,=2;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

設函數==(),

==, 由題設知，即，令，得

，

（1）若，則，∴當時，，當時，，記在時單調遞減，時單調遞增，故在時取最小值，而，∴當時，，即≤；

（2）若，則，∴當時，，∴在單調遞增，而.∴當時，，即≤；

（3）若時，，則在單調遞增，而==<0,

∴當≥-2時,≤不可能恒成立,

綜上所述,的取值范圍為[1,].

考點：1、導數的幾何意義；2、導數在單調性上的應用；3、函數的極值和最值.