Question

【題目】已知函數(shù)（為常數(shù)，）.

（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在（，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）上有兩個(gè)零點(diǎn)，求的最小值.

Answer 1

【答案】見解析

【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)镽，由，得. ...............2分

①當(dāng)時(shí)，對(duì)都有，當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表：

		0
	+	0	_
	增	極大值	減

此時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為. ................4分

②當(dāng)時(shí)，.由，得或.當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表：

		0
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

此時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.

③當(dāng)時(shí)，.此時(shí)，的遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間. .....6分

④當(dāng)時(shí)，.由，得或.當(dāng)變化時(shí)，，的變化如下表：.

				0
	+	0	-	0	+
	增	極大值	減	極小值	增

此時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；

當(dāng)時(shí)，的遞增區(qū)間為，，遞減區(qū)間為. ……8分

(2)當(dāng)時(shí)，.由（1）可知，在上為增函數(shù)，

且的極大值為，所以在上有一個(gè)零點(diǎn).

由，且在上為減函數(shù)，則必有. ................9分

要想函數(shù)在上還有一個(gè)零點(diǎn)，同時(shí)考慮到函數(shù)在上為增函數(shù)，

則只需，且.又因?yàn)?/span>，

且

，

所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)在還有一個(gè)零點(diǎn)，則的最小值為2. ................12分

綜上所述，若在上有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，的最小值為2. ……13分