Question

（2012•江西模擬）已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值．
（1）求實(shí)數(shù)m的值；
（2）已知結(jié)論：若函數(shù)f（x）=ln（x+1）+mx在區(qū)間（a，b）內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，且a＞-1，則存在x₀∈（a，b），使得f′(x0)=

f(b)-f(a)

b-a

．試用這個(gè)結(jié)論證明：若-1＜x₁＜x₂，函數(shù)g(x)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)+f(x1)，則對(duì)任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）；
（3）已知正數(shù)λ₁，λ₂，…，λ_n，滿(mǎn)足λ₁+λ₂+…+λ_n=1，求證：當(dāng)n≥2，n∈N時(shí)，對(duì)任意大于-1，且互不相等的實(shí)數(shù)x₁，x₂，…，x_n，都有f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_nx_n）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_nf（x_n）．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)函數(shù)，利用當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值，即可求得實(shí)數(shù)m的值；
（2）令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)-f(x1)，則h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，根據(jù)函數(shù)f（x）在x∈（x₁，x₂）上可導(dǎo)，可得存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，從而h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

1

x+1

-

1

x0+1

=

x0-x

(x+1)(x0+1)

，進(jìn)而可得h（x）＞0；
（3）用數(shù)學(xué)歸納法證明，先證明當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立；再證明假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，利用歸納假設(shè)證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．

解答：（1）解：求導(dǎo)函數(shù)f′(x)=

1

x+1

+m．
∵當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值
∴f'（0）=0，得m=-1，此時(shí)f′(x)=-

x

x+1

．
當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，f'（x）＞0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，0）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，f'（x）＜0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上單調(diào)遞減．
∴函數(shù)f（x）在x=0處取得極大值，故m=-1．…（3分）
（2）證明：令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(x-x1)-f(x1)，…（4分）
則h′(x)=f′(x)-

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
∵函數(shù)f（x）在x∈（x₁，x₂）上可導(dǎo)，
∴存在x₀∈（x₁，x₂），使得f′(x0)=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．
∵f′(x)=

1

x+1

-1，
∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=

1

x+1

-

1

x0+1

=

x0-x

(x+1)(x0+1)

∵當(dāng)x∈（x₁，x₀）時(shí)，h'（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（x₁）=0；
∵當(dāng)x∈（x₀，x₂）時(shí)，h'（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減，∴h（x）＞h（x₂）=0；
故對(duì)任意x∈（x₁，x₂），都有f（x）＞g（x）．…（8分）
（3）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=2時(shí)，∵λ₁+λ₂=1，且λ₁＞0，λ₂＞0，∴λ₁x₁+λ₂x₂∈（x₁，x₂），∴由（Ⅱ）得f（x）＞g（x），
即f(λ1x1+λ2x2)＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

(λ1x1+λ2x2-x1)+f(x1)=λ1f(x1)+λ2f(x2)，
∴當(dāng)n=2時(shí)，結(jié)論成立．…（9分）
②假設(shè)當(dāng)n=k（k≥2）時(shí)結(jié)論成立，即當(dāng)λ₁+λ₂+…+λ_k=1時(shí)，f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_kx_k）＞λ₁f（x₁）+λ₂f（x₂）+…+λ_kf（x_k）．
當(dāng)n=k+1時(shí)，設(shè)正數(shù)λ₁，λ₂，…，λ_k+1滿(mǎn)足λ₁+λ₂+…+λ_k+1=1，
令m=λ₁+λ₂+…+λ_k，μ1=

λ1

m

，μ2=

λ2

m

，…，μk=

λk

m

，則m+λ_k+1n=1，且μ₁+μ₂+…+μ_k=1．
f（λ₁x₁+λ₂x₂+…+λ_kx_k+λ_k+1x_k+1）=f[m（μ₁x₁+…+μ_kx_k）+λ_k+1x_k+1]＞mf（μ₁x₁+…+μ_kx_k）+λ_k+1f（x_k+1）＞mμ₁f（x₁）+…+mμ_kf（x_k）+λ_k+1f（x_k+1）=λ₁f（x₁）+…+λ_kf（x_k）+λ_k+1f（x_k+1）…（13分）
∴當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜上由①②，對(duì)任意n≥2，n∈N，結(jié)論恒成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，解題的關(guān)鍵是利用函數(shù)的極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為0，利用數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟進(jìn)行證明，綜合性強(qiáng)．