Question

某池塘中原有一塊浮草，浮草蔓延后的面積y（m²）與時間t（月）之間的函數關系是y=a^t-1（a＞0，且a≠1），它的圖象如圖所示．給出以下命題：
①池塘中原有浮草的面積是0.5m²；
②到第7個月浮草的面積一定能超過60m²
③浮草每月增加的面積都相等；
④若浮草面積達到4m²，16m²，64m²所經過時間分別為t₁，t₂，t₃，則t₁+t₂＜t₃，其中所有正確命題的序號是（ ）

A．①②
B．①④
C．②③
D．②④

Answer 1

【答案】分析：先根據圖象經過點（2，2）求出a，代入函數的解析式，即可求出底數a，進而即可求出這個指數函數的表達式；然后對各個選擇支進行逐一判斷即可．令t=0時，y==0.5即可對①進行判斷；對于②，將t=7代入函數的解析式，即可求出第7個月時浮萍的面積；對于③，當t=1時，和當t=2時，計算這兩個月增加的面積；分別將y=4、16、64分別代入函數解析式，求出對應的t值，即可對于④進行判斷．
解答：解：根據圖象過點（2，2）可知
點（2，2）適合y=a^t-1即2=a
∴函數關系是y=2^t-1
令t=0時，y==0.5，故①正確；
令t=7時，y=2⁶=64＞60，故②正確；
當t=1時，y=1，增加0.5，當t=2時，y=2，增加1，每月增加的面積不相等，故③不正確；
分別令y=4、16、64，解得t₁=3，t₂=5，t₃=7，t₁+t₂＞t₃，故④不正確．
其中所有正確命題的序號是：①②
故選A．
點評：本題考查的知識點是指數函數的綜合應用、指數函數與冪函數的增長差異、函數的圖象等知識，其中根據圖象，確定函數圖象經過的點的坐標，求出函數的解析式是解答本題的關鍵．