Question

已知函數f（x）=2a•4^x-2^x-1
（1）當a=1時，求函數f（x）在x∈[-3，0]的值域；
（2）若關于x的方程f（x）=0有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意可得f（x）=2•4^x-2^x-1，令t=2^x，則f（t）=2t²-t-1，由x∈[-3，0]可知

1

8

≤t≤1，結合二次函數的性質可求
（2）由題意可得方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解，結合二次函數的性質可考慮分類討論：①當a=0時②當a＜0時，③當a＞0三種情況討論可求

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=2•4^x-2^x-1，
令t=2^x，則f（t）=2t²-t-1，
∵x∈[-3，0]
∴

1

8

≤t≤1，f（t）=2(t-

1

4

)2-

9

8

當t=

1

4

時，函數有最小值-

9

8

，當t=1時，函數有最大值0
故值域為[-

9

8

，0]
（2）關于x的方程f（x）=0有解，等價于
方程2at²-t-1=0在（0，+∞）上有解
記f（t）=2at²-t-1（t＞0）
①當a=0時，解為t=-1，不成立
②當a＜0時，開口向下，對稱軸t=

1

4a

＜0，過點（0，-1），可得根都為負數，不成立
③當a＞0時，開口向上，對稱軸t=

1

4a

＞0，過（0，-1），必有一個根為正
綜上得，a＞0

點評：本題主要考查了利用換元求解二次函數在閉區間上的最值，及二次方程的實根分布的應用，屬于綜合試題