Question

已知函數f（x）=x²－4，設曲線y＝f（x）在點（x_n，f（x_n））處的切線與x軸的交點為（x_n+1,0）（n），其中為正實數.  

 （Ⅰ）用表示x_n+1；

（Ⅱ）若a₁=4，記a_n=lg，證明數列｛｝成等比數列，并求數列｛x_n｝的通項公式；

（Ⅲ）若x₁＝4，b_n＝x_n－2，T_n是數列｛b_n｝的前n項和，證明T_n<3.

Answer 1

（1）（2）見解析（3）見解析

解析:

（Ⅰ）由題可得．

所以曲線在點處的切線方程是：．

即．令，得．

即．顯然，∴．

（Ⅱ）由，知，同理．

　　　故．從而，即．

所以，數列成等比數列．

故．即．從而所以

（Ⅲ）證明：由（Ⅱ）知，∴   

 ∴    當時，顯然．

當時，

∴．

綜上，．