已知橢圓 $數學公式$ ，滿足 $數學公式$ ，若橢圓的離心率為e，則 $數學公式$ 的最小值

A.
$數學公式$
B.
$數學公式$
C.
3
D.
4

B
分析：先由a $\text{[math]}$ ，及a²=b²+c²，求得橢圓離心率的范圍，再利用換元法將函數y= $\text{[math]}$ 轉化為函數y=t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ），最后利用導數判斷此函數的單調性，求出函數的最小值
解答：∵a $\text{[math]}$ ，∴a²≤2b²，∴a²≤2（a²-c²），即a²≥2c²，∴0＜e²≤ $\text{[math]}$
設t=e²，則y= $\text{[math]}$ =t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ）
∵y′（t）=1- $\text{[math]}$ ＜0，
∴y=t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ）為（0， $\text{[math]}$ ]上的減函數
∴y≥ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 的最小值為 $\text{[math]}$
故選B
點評：本題考察了橢圓的幾何性質離心率的求法，考察了特殊函數的單調性和最值的求法，注意本題的函數y=t+ $\text{[math]}$ （0＜t≤ $\text{[math]}$ ）不適合用均值定理求最值

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