Question

如圖，在棱長為3的正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁E=CF=1．
（1）求兩條異面直線AC₁與D₁E所成角的余弦值；
（2）求直線AC₁與平面BED₁F所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz，則我們易求出已知中，各點的坐標，進而求出向量

AC1

，

D1E

的坐標．代入向量夾角公式，結合異面直線夾角公式，即可得到答案．
（2）設出平面BED₁F的一個法向量為

n

，根據法向量與平面內任一向量垂直，數量積為0，構造方程組，求出平面BED₁F的法向量為

n

的坐標，代入線面夾角向量公式，即可求出答案．

解答：解：（1）以D為原點，建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示：

則A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴

AC1

=（-3，3，3），

D1E

=（3，0，-1）
∴cosθ=

AC1 • D1E

| AC1 |•| D1E |

=

-9-3

3 3 × 10

=-

2 30

15

則兩條異面直線AC₁與D₁E所成角的余弦值為

2 30

15

（2）B（3，3，0），

.

BE

=（0，-3，2），

D1E

=（3，0，-1）
設平面BED₁F的一個法向量為

n

=（x，y，z）
由

n • D1E =0 n • BE =0

得

3x-z=0 -3y+2z=0

令x=1，則

n

=（1，2，3）
則直線AC₁與平面BED₁F所成角的正弦值為
|

AC1 • n

| AC1 |•| n |

|=|

-3+6+9

3 3 × 14

|=

2 42

21

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線與平面的夾角，異面直線及其所成的角，直線與平面所成的角，用空間向量求直線間的夾角、距離，其中構造空間直角坐標系，將線線夾角及線面夾角問題，轉化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．