Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1-4lnx}{{x}^{2}}$．
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）若對任意的x₁，x₂∈[$\frac{1}{e}$，+∞），且x₁≠x₂，不等式$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{k}{{{x}_{1}}^{2}•{{x}_{2}}^{2}}$恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為$\frac{4l{nx}_{1}+k-1}{{{x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{4l{nx}_{2}+k-1}{{{x}_{2}}^{2}}$，設g（x）=$\frac{4lnx+k-1}{{x}^{2}}$，則g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，根據函數的單調性求出k的范圍即可．

解答 解：（1）f′（x）=$\frac{-6+8lnx}{{x}^{3}}$，令f′（x）=0，解得：x=${e}^{\frac{3}{4}}$，
故x∈（0，${e}^{\frac{3}{4}}$）時，f′（x）＜0，f（x）遞減，
x∈（${e}^{\frac{3}{4}}$，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；
（2）f（x）=$\frac{1-4lnx}{{x}^{2}}$，于是$\frac{\frac{1-4l{nx}_{1}}{{{x}_{1}}^{2}}-\frac{1-4l{nx}_{2}}{{{x}_{2}}^{2}}}{{{x}_{2}}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{k}{{{x}_{1}}^{2}{{•x}_{2}}^{2}}$，不妨設x₁＞x₂，
∴$\frac{{{x}_{2}}^{2}（1-4l{nx}_{1}）{{-x}_{1}}^{2}（1-4l{nx}_{2}）}{{{x}_{2}}^{2}{{-x}_{1}}^{2}}$≤k，
即${{x}_{2}}^{2}$（1-4lnx₁）-${{x}_{1}}^{2}$（1-4lnx₂）≥k（${{x}_{2}}^{2}$-${{x}_{1}}^{2}$），
整理得：${{x}_{2}}^{2}$（k+4lnx₁-1）≤${{x}_{1}}^{2}$（k+4lnx₂-1），
即$\frac{4l{nx}_{1}+k-1}{{{x}_{1}}^{2}}$≤$\frac{4l{nx}_{2}+k-1}{{{x}_{2}}^{2}}$，
設g（x）=$\frac{4lnx+k-1}{{x}^{2}}$，則g（x）在[$\frac{1}{e}$，+∞）遞減，
又g′（x）=$\frac{-8lnx+6-2k}{{x}^{3}}$，
令g′（x）=0，解得：x=${e}^{\frac{3-k}{4}}$，
故g（x）在（${e}^{\frac{3-k}{4}}$，+∞）遞增，
故${e}^{\frac{3-k}{4}}$≤e^-1，
即$\frac{3-k}{4}$≤-1，
故k≥7．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．