Question

如圖，四棱錐中，底面為梯形,∥, ，平面,為的中點

（Ⅰ）證明：
（Ⅱ）若，求二面角的余弦值

Answer 1

(Ⅰ)詳見解析；（Ⅱ）二面角的余弦值．

試題分析：（Ⅰ）證明：，在立體幾何中，證明線線垂直，往往轉化為證明線面垂直，從而得線線垂直，本題可利用線面垂直的判定定理，可先證明平面，即證垂直平面內的兩條相交直線即可，由題意平面，即，在平面內再找一條垂線即可，由已知，,由余弦定理求出，從而可得，即，從而可證，即得平面；然后利用線面垂直的性質可得；（Ⅱ）求二面角的余弦值，可建立空間直角坐標系，利用向量法求二面角的大小，本題由（Ⅰ）可知，故以以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，設出兩個半平面的法向量，利用法向量的性質，求出兩個半平面的法向量，利用法向量來求平面與平面的夾角的余弦值．
試題解析：（Ⅰ）由余弦定理得BD==
∴BD²+AB²=AD²，∴∠ABD=90°，BD⊥AB，∵AB∥DC, ∴BD⊥DC
∵PD⊥底面ABCD,BDÌ底面ABCD，∴BD⊥PD
又∵PD∩DC=D,  ∴BD⊥平面PDC,又∵PCÌ平面PDC, ∴BD⊥PC         (6分)

（Ⅱ）已知AB=1，AD=CD=2，PD=,
由（Ⅰ）可知BD⊥平面PDC.
如圖，以D為坐標原點，射線DB為x軸的正半軸建立空間直角坐標系D—xyz,則
D(0,0,0),B(,0,0),C(0,2,0),P(0,0,),M(0,1，).
=(,0,0),=(0,1，),=(0,-2,),=(,-2,0) （7分）
設平面BDM的法向量=（x,y,z）,則
x=0,y+z=0,令z=, ∴取=（0，-1，）       （8分）
同理設平面BPM的法向量為=（a,b,c）,則
∴=(,1，)            （10分）
∴cos<,> ==-             （11分）
∴二面角D-BM-P的余弦值大小為.          （12分）