Question

已知函數(shù)f(x)=mx³+nx²(m、n∈R ,m≠0)的圖像在（2，f(2)）處的切線與x軸平行.

（1）求n,m的關(guān)系式并求f(x)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)0<x₁<x₂<1, 關(guān)于x的方程：

在（x₁,x₂）恒有實(shí)數(shù)解

（3）結(jié)合（2）的結(jié)論，其實(shí)我們有拉格朗日中值定理：若函數(shù)f(x)是在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)不斷的函數(shù)，且在區(qū)間(a,b)內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在，則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)x₀，使得.如我們所學(xué)過的指、對(duì)數(shù)函數(shù)，正、余弦函數(shù)等都符合拉格朗日中值定理?xiàng)l件.試用拉格朗日中值定理證明：

當(dāng)0<a<b時(shí)，（可不用證明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性）

Answer 1

解：(1)因?yàn)閒’(x)=3mx²+2nx,---1’ 由已知有f’(2)=0,所以3m+n=0即n=-3m

即f’(x)=3mx²-6mx,由f’(x)>0知mx(x-2)>0.

當(dāng)m>0時(shí)得x<0或x>2，f(x)的減區(qū)間為（0，2）；

當(dāng)m<0時(shí)得：0<x<2,f(x)的減區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；

綜上所述：當(dāng)m>0時(shí)，f(x)的減區(qū)間為（0，2）；

當(dāng)m<0時(shí),f(x)的減區(qū)間為（-∞，0），（2，+∞）；

可化為3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂=0,令h(x)= 3x²-6x-x₁²-x₂²-x₁x₂+3x₁+3x₂

則h(x₁)=(x₁-x₂₎(2x₁+x₂-3),h(x₂)=(x₂-x₁)(x₁+2x₂-3),

即h(x₁)h(x₂)=-(x₁-x₂)²(2x₁+x₂-3)(x₁+2x₂-3)     

又因?yàn)?<x₁<x₂<1,所以(2x₁+x₂-3)<0,(x₁+2x₂-3)<0,  即h(x₁)h(x₂)<0,

故h(x)=0在區(qū)間(x₁,x₂)內(nèi)必有解，

即關(guān)于x的方程在（x₁,x₂）恒有實(shí)數(shù)解

（3）令g(x)=lnx,x∈(a,b)，

則g(x)符合拉格朗日中值定理的條件,即存在x₀∈（a,b）,使

因?yàn)間’(x)=,由x∈(a,b),0<a<b可知g’(x)∈(),b-a>0

即。