Question

已知函數f（x）=x³+ax²+bx+c在x=1處有極值，f（x）在x=2處的切線l不過第四象限且傾斜角為

π

4

，坐標原點到切線l的距離為

2

2

．
（Ⅰ）求a、b、c的值；
（Ⅱ）求函數y=f(x)在區間[-1，

3

2

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出函數的導函數，再根據在x=1處有極值得到f'（1）=0，而f（x）在x=2處的切線l的傾斜角為

π

4

得到f'（2）=1，建立兩個等式關系解之即可；
（Ⅱ）先求出x∈[-1，

3

2

]上的極值，將f（x）的各極值與其端點的函數值比較，其中最大的一個就是最大值，最小的一個就是最小值．

解答：解：（Ⅰ）由f（x）=x³+ax²+bx+c，得f′（x）=3x²+2ax+b．
∵x=1時f（x）有極值，∴f′（1）=3+2a+b=0．①
∵f（x）在x=2處的切線l的傾斜角為

π

4

，
∴f′(2)=12+4a+b=tan

π

4

=1.②
由①②可解得a=-4，b=5．（4分）
設切線l的方程為y=x+m，由坐標原點（0，0）到切線l的距離為

2

2

，可得m=±1，
又切線不過第四象限，所以m=1，切線方程為y=x+1．（6分）
∴切點坐標為（2，3），∴f（2）=8-16+10+c=3，所以c=1．
故a=-4，b=5，c=1．（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x³-4x²+5x+1，f′（x）=3x²-8x+5=（x-1）（3x-5）．
∵x∈[-1，

3

2

]，∴函數f（x）在區間[-1，1]上遞增，在(1，

3

2

]上遞減，（9分）
又f(-1)=-9，f(1)=3，f(

3

2

)=

23

8

，（12分）
∴f（x）在區間[-1，

3

2

]上的最大值為3，最小值為-9．（13分）

點評：本題主要考查了利用導數研究函數的單調性，以及利用導數研究函數的最值及其幾何意義，屬于基礎題．