Question

【題目】已知

(1)求的最小值以及取得最小值時的值.

(2)若方程在上有兩個根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）

【解析】

（1）將函數變形后，利用基本不等式求解最小值及取等號時x的值.

（2）利用（1）所得結論，結合函數在區間單調性和取值范圍，可得k的取值范圍為（，3].

（1） ，已知，則x-1>0, ,

故，

當且僅當時等號成立，解得x= ，

即的最小值是，取得最小值時=.

(2)由（1）知，f（x）在上最小值為，取最小值時x=，

根據函數單調性定義，設1<x1<x2<,

f(x1)-f（x2）= ，

由0<x1-1<x2-1<知, 0<<2,則，則f(x1)-f（x2）>0,

即f（x）在上單調減函數，同理可得f（x）在上單調增函數，

易得f（3）=3，且f（x）=3，可解得x=2或x=3，且x=2 ，

結合函數的單調性，故方程在上有兩個根，則k的取值范圍為（，3].