Question

(本小題滿分12分) 已知各項均為正數的數列滿足: （），且.
（Ⅰ）求數列的通項公式;
（Ⅱ）證明:（）
（Ⅲ）若，令，設數列的前項和為（），試比較與的大小.

Answer 1

(1)略
(2)

．解:（Ⅰ）∵，
（法一,即
又,所以有,所以，法二 令
則有，可得）
∴  所以數列是公比為2的等比數列 （2分）
由得,解得
故數列的通項公式為  （4分）
（Ⅱ）①當時，,上面不等式顯然成立；（5分）
②假設當時，不等式成立
當時，

綜上①②對任意的均有   （8分）
（Ⅲ）因，所以
即數列是首項為4,公比是4的等比數列  （9分）
所以，  （10分）
又∴－＝－
＝
所以對任意的均有  （12分）