Question

（2011•安徽模擬）古希臘著名的畢達哥拉斯學派把1、3、6、10…這樣的數稱為“三角形數”，而把1、4、9、16…這樣的數稱為“正方形數”．如圖中可以發現，任何一個大于1的“正方形數”都可以看作兩個相鄰“三角形”之和，下列等式中，符合這一規律的表達式為（　　）
①13=3+10；②25=9+16；③36=15+21；④49=18+31；⑤64=28+36．

A．③⑤

B．②④⑤

C．②③④

D．①②③⑤

Answer 1

分析：根據題意，歸納可得“三角形數”與“正方形數”的規律，進而可得兩者之間的關系為n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

，據此依次驗證5個表達式可得：對于①，13不是正方形數；對于②，9和16不是三角形數；對于③，是關系式中n=6的表達式，對于④，18和31不是三角形數；對于⑤，是關系式中n=8的表達式，即可得答案．

解答：解：根據題意，分析可得：“三角形數”的規律是1，3，6，10，…，

n(n+1)

2

，…；
“正方形數”的規律是4，9，16，…n²，…；
且正方形數是這串數中相鄰兩數之和，即n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

；
對于①，13=3+10，13不是正方形數；
對于②，9和16不是三角形數；
對于③，在n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

中，令n=6，可得36=15+21；
對于④，18和31不是三角形數；
對于⑤，在n²=

n(n-1)

2

+

n(n+1)

2

中，令n=8，可得28+36=64；
只有③⑤是對的；
故選A．

點評：本題考查歸納推理，關鍵是根據題意，發現“三角形數”、“正方形數”的變化規律以及兩者之間的聯系．