Question

在數列{a_n}（n∈N*）中，已知a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，k∈N*. 記數列{a_n}的前n項和為S_n.
（1）求S₅，S₇的值；
（2）求證：對任意n∈N*，S_n≥0.

Answer 1

(1) S₅＝3，S₇＝1.
(2)根據已知的遞推關系，然后結合整體的思想來分析得到，然后運用數學歸納法加以證明。

試題分析：解：（1）根據題意， 由于a₁＝1，a_2k＝－a_k，a_2k－1＝(－1)^k+1a_k，
故有 故可知S₅＝3，S₇＝1.        2分
（2）由題設的定義可知，對于每個正整數k，有
.                                                ①
_.                                              ②       4分
則 ，③
.                     ④       6分
下面證明對于所有的n≥1，S_n≥0.
對于k，用數學歸納法予以證明.
當i＝1，2，3，4，即k=0時，S₁＝1，S₂＝0， S₃＝1， S₄＝2.
假設對于所有的i≤4k，S_i≥0，則由①、②、③、④知，
S_4k+4＝2S_k+1≥0，
S_4k+2＝S_4k≥0，
S_4k+3＝S_4k+2＋a_4k+3＝S_4k+2＋a_4k+4＝S_4k+2＋(S_4k+4－S_4k+3)，S_4k+3＝≥0.
接下來證明：S_4k+1≥0.
若k是奇數，則S_4k＝2S_k≥2.
因為k是奇數，所以由題設知數列的各項均為奇數，可知S_k也是一個奇數. 于是
S_4k≥2. 因此，S_4k+1＝S_4k＋a_4k+1≥1.
若k是偶數，則a_4k+1＝a_2k+1＝a_k+1. 所以S_4k+1＝S_4k＋a_4k+1＝2S_k＋a_k+1＝S_k＋S_k＋1≥0.
綜上，對于所有的n≥1，S_n≥0.                                     10分
點評：解題的關鍵是通過具體的例子歸納猜想結論，結合數學歸納法加以證明，屬于中檔題。