Question

【題目】已知橢圓過點，分別為橢圓C的左、右焦點且.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過P點的直線與橢圓C有且只有一個公共點，直線平行于OP（O為原點），且與橢圓C交于兩點A、B，與直線交于點M（M介于A、B兩點之間）.

（i）當面積最大時，求的方程；

（ii）求證：，并判斷，的斜率是否可以按某種順序構成等比數列.

Answer 1

【答案】（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析，不可能構成等比數列.

【解析】

（1）設，.求出的坐標，根據，求出.把點代入橢圓方程，結合，求出，即得橢圓C的方程；

（2）（i）設方程為，.把直線的方程代入橢圓方程，由韋達定理、弦長公式求出.由點到直線的距離公式求出點P到的距離，則，根據基本不等式求面積的最大值，即求的方程；（ii）要證結論成立，只須證明，即證直線為的平分線，轉化成證明.

又與C有一個公共點，即為橢圓的切線，可求，又.由題意，，，四個數按某種順序成等比數列，推出矛盾，故不可能構成等比數列.

（1）設，，

則，.

，.

又在橢圓上，故，

又，解得，，

故所求方程為.

（2）（i）由于，

設方程為，.

由，消y整理得，

，

則

.

又點P到的距離,

.

當且僅當，，即時，等號成立.

故直線AB的方程為：.

（ⅱ）要證結論成立，只須證明：，

由角平分線性質即證：直線為的平分線，

轉化成證明：.

因為

因此結論成立.

又與C有一個公共點，即為橢圓的切線，

由得

令，，

則，

所以，所以，

故所研究的4條直線的斜率分別為，，，，

若這四個數成等比數列，且其公比記為q，

則應有或，或.

因為不成立，所以，

而當時，，，

此時直線PB與重合，不合題意，

故，，PA，PB的斜率無論怎樣排序都不可能構成等比數列.