Question

如圖，已知平面A₁B₁C₁平行于三棱錐V—ABC的底面ABC，等邊△AB₁C所在的平面與底面ABC垂直，且∠ACB=90°.設AC=2a,BC=a.

(Ⅰ)求證直線B₁C₁是異面直線AB₁與A₁C₁的公垂線；

(Ⅱ)求點A到平面VBC的距離；

(Ⅲ)求二面角A—VB—C的大小.

Answer 1

解法一：

(Ⅰ)證明：∵平面A₁B₁C₁∥平面ABC，

∴B₁C₁∥BC，A₁C₁∥AC.

∵BC⊥AC，

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

    又∵平面AB₁C⊥平面ABC，

    平面AB₁C∩平面ABC=AC，

∴BC⊥平面AB₁C，∴BC⊥AB₁.

∴B₁C₁⊥AB₁，又A₁C₁∩B₁C₁=C₁，

B₁C₁∩AB₁=B₁.

∴B₁C₁為AB₁與A₁C₁的公垂線.

(Ⅱ)解法1：過A作AD⊥B₁C于D，

∵△AB₁C為正三角形，

∴D為B₁C的中點.

∵BC⊥平面AB₁C

∴BC⊥AD，又B₁C∩BC=C，

∴AD⊥平面VBC，

∴線段AD的長即為點A到平面VBC的距離.

    在正△AB₁C中，AD=·AC=×2a=a.

∴點A到平面VBC的距離為a.

解法2：取AC中點O連結B₁O，則B₁O⊥平面ABC，且B₁O=a.

    由(Ⅰ)知BC⊥B₁C.設A到平面VBC的距離為x,

∴=，

    即×BC·AC·B₁O=×BC·B₁C·x,

    解得x=a.

    即A到平面VBC的距離為a.

(Ⅲ)過D點作DH⊥VB于H，連AH，由三垂線定理知AH⊥VB

∴∠AHD是二面角A—VB—C的平面角.

    在Rt△AHD中AD=a，△B₁DH∽△B₁BC，，

∴DH==a,

∴tan∠AHD=.

∴∠AHD=arctan.

    所以，二面角A—VB—C的大小為arctan15.

解法二：

    取AC中點O連B₁O，易知OB₁⊥底面ABC，過O作直線OE∥BC交AB于E.

    取O為空間直角坐標系的原點，OE，OC，OB₁所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.

    則A(0,-a,0),B(a,a,0),C(0,a,0),B₁(0,0,a).

(Ⅰ)∵=(-a,0,0),=(0,a,a),∴·=(-a,0,0)·(0,a,a)=0,

∴⊥.

∴BC⊥AB₁.

    又∵B₁C₁∥BC，B₁C₁⊥AB₁

    由已知BC⊥AC，AC∥A₁C₁.

∴BC⊥A₁C₁.

    而BC∥B₁C₁，

∴B₁C₁⊥A₁C₁.

    又B₁C₁與AB₁，A₁C₁顯然相交，

∴B₁C₁是AB₁與A₁C₁的公垂線.

(Ⅱ)設平面VBC的一個法向量n=(x,y,z),

    又=(0,-a,a)

    由

    取z=1  得n=(0,,1),

    點A到平面VBC的距離，即在平面VBC的法向量n上的投影的絕對值.

∵=(0,a,a),設所求距離為d,

    則d=|||·cos〈,n〉|=|||·|=.

    所以，A到平面VBC的距離為a.

(Ⅲ)設平面VAB的一個法向量m=(x₁,y₁,z₁),

    由

    取z₁=1  m=(2,-,1),

∴cos〈m,n〉==-.

∵二面角A—VB—C為銳角，

    所以，二面角A—VB—C的大小為arccos.