Question

如圖，四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，A₁D⊥平面ABCD，底面ABCD是邊長為1的正方形，側棱AA₁=2．
（Ⅰ）求三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）求直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）若棱AA₁上存在一點P，使得=λ，
當二面角A-B₁C₁-P的大小為30°時，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）點C到面A₁B₁C₁的距離即為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的長，求出三棱錐C-A₁B₁C₁的底面積及高，代入三棱錐體積公式即可得到三棱錐C-A₁B₁C₁的體積V；
（Ⅱ）以點D為坐標原點，建立空間直角坐標系O-xyz，分別求出直線BD₁的方向向量及平面ADB₁的法向量，代入向量夾角公式，即可求出直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面B₁C₁P的法向量，結合（2）中平面ADB₁的法向量，及已知中二面角A-B₁C₁-P的大小為30°，代入向量夾角公式，可以構造一個關于實數λ的方程，解方程，即可求出實數λ的值．
解答：解：（I）在Rt△A₁AD中，∠A₁AD=90°，A₁A=2，AD=1，∴．（1分）
注意到點C到面A₁B₁C₁的距離即為四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的高A₁D的長，
所以．（3分）
（II）以點D為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系O-xyz，
則，，（5分）∴，
設平面ADB₁的法向量，
由得平面ADB₁的一個法向量為，（7分）
記直線BD₁與平面ADB₁所成的角為α，則，
所以直線BD₁與平面ADB₁所成角的正弦值為．（8分）
（III）∵，∴，
又，
設平面B₁C₁P的法向量，
由得平面B₁C₁P的一個法向量為，（10分）
則，
注意到λ＞0，解得λ=2為所求．（12分）
點評：本題考查的知識點是用空間向量求平面間的夾角，棱錐的體積，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立空間坐標系將直線與平面夾角及二面角問題轉化為向量夾角問題，是解答此類問題的關鍵．