Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=xlnx，且0＜x1＜x2 ， 給出下列命題： ① ＜1
②x2f（x1）＜x1f（x2）
③當(dāng)lnx＞﹣1時(shí)，x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1）
④x1+f（x1）＜x2+f（x2）
其中正確的命題序號(hào)是 ．

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：f′（x）=lnx+1，

x∈（0， ）時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在（0， ）單調(diào)遞減，

x∈（ ，+∞），f′（x）＞0，．∴f（x）在（ ，+∞）上單調(diào)遞增．

①令g（x）=f（x）﹣x=xlnx﹣x，

則g′（x）=lnx，設(shè)x1，x2∈（1，+∞），

則g′（x）＞0，∴函數(shù)g（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，

∴由x2＞x1得g（x2）＞g（x1）；

∴f（x2）﹣x2＞f（x1）﹣x1，∴ ＞1；故①錯(cuò)誤；

②令g（x）= =lnx，則g′（x）= ，（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞增，

∵x2＞x1＞0，∴g（x2）＞g（x1），∴x2f（x1）＜x1f（x2），即②正確，

③當(dāng)lnx1＞﹣1時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，

∴x1f（x1）+x2f（x2）﹣2x2f（x1）=x1[f（x1）﹣f（x2）]+x2[f（x2）﹣f（x1）]=（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0

∴x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），

∵x2f（x1）＜x1f（x2），

利用不等式的傳遞性可以得到x1f（x1）+x2f（x2）＞2x2f（x1），故③正確．

④令h（x）=f（x）+x=xlnx+x，則h′（x）=lnx+2，

∴x∈（0， ）時(shí)，h′（x）＜0，

∴函數(shù)h（x）在（0， ）上單調(diào)遞減，

設(shè)x1，x2∈（0， ），所以由x1＜x2得h（x1）＞h（x2），

∴f（x1）+x1＞f（x2）+x2，故④錯(cuò)誤；

所以答案是：②③

【考點(diǎn)精析】利用命題的真假判斷與應(yīng)用對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．