Question

【題目】已知函數

（1）當a≤0時，討論函數f（x）的單調性；

（2）是否存在實數a，對任意的x1，x2（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立.若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）存在，

【解析】

（1）由題可知f（x）的定義域，再對其求導，利用分類討論的根的大小，從而確定函數f（x）的單調性；

（2）假設存在，將已知條件轉化為，構建新的函數g（x）=f（x）-ax，顯然只要g（x）在（0，+∞）為增函數即成立，等價于不等式在（0，+∞）恒成立，解得a的取值范圍即為答案.

（1）由題可知， f（x）的定義域為，．

①當時，

f（x）在（0，-a）上是增函數，在（-a，2）上是減函數，在上是增函數．

②當a=-2時，在上是增函數．

③時， 則f（x）在（0，2）上是增函數，在（2，-a）上是減函數，

在上是增函數．

（2） 假設存在實數a， 對任意的x1，x2（0，+∞），且x1≠x2，都有恒成立

不妨設， 若，即.

令g（x）=f（x）-ax= -ax=.

顯然只要g（x）在（0，+∞）為增函數即成立

因為

要使g（x）在（0，+∞）為增函數則在（0，+∞）恒成立，

即只需-1-2a≥0，則.

故存在滿足題意．