Question

設p：f（x）=x³+2x²+mx+1在（-∞，+∞）內單調遞增，函數q：g（x）=x²-4x+3m不存在零點則p是q的（　　）

• A、充分不必要條件
• B、必要不充分條件
• C、充分必要條件
• D、既不充分也不必要條件

Answer 1

分析：由“f（x）在（-∞，+∞）內單調遞增”，可轉化為“f′（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立”，即3x²+4x+m≥0在（-∞，+∞）上恒成立，用判別式解．由“g（x）不存在零點”，可知相應方程無根．根據兩個結果，用集合法來判斷邏輯關系．

解答：解：f（x）在（-∞，+∞）內單調遞增，
則f′（x）≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即3x²+4x+m≥0在（-∞，+∞）上恒成立，
即△₁=16-12m≤0，即m≥

4

3

；
g（x）不存在零點，
則△₂=16-12m＜0，即m＞

4

3

．
故p成立q不一定成立，q成立p一定成立，故p是q的必要不充分條件．
故選B．

點評：本題主要考查常用邏輯用語，涉及了函數的單調性及函數零點問題．