Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，1）、F₂（0，1）、直線y=4是它的一條準(zhǔn)線，A₁、A₂分別是橢圓的上、下兩個(gè)頂點(diǎn)．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，A₁點(diǎn)的拋物線為C，若過(guò)點(diǎn)F1的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)M、N，求線段MN的中點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，由題意，得，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)拋物線C的方程為x²=2py，p＞0．由，得p=4．故拋物線C的方程為x²=8y，設(shè)線段MN的中點(diǎn)Q（x，y），直線l的方程為y=kx+1，由，得x²-8kx-8=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．故，代入直線l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，由此能求出點(diǎn)Q的軌跡方程．
解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓方程為，
由題意，得，
∴a²=4，b²=4-1=3，
∴所求橢圓方程； …（5分）
（Ⅱ）設(shè)拋物線C的方程為x²=2py，p＞0．
由，得p=4．
∴拋物線C的方程為x²=8y，
設(shè)線段MN的中點(diǎn)Q（x，y），直線l的方程為y=kx+1，
由，得x²=8kx+8，
即x²-8kx-8=0，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則有x₁+x₂=8k，x₁x₂=-8．
∴，
代入直線l的方程，得y=k•4k+1=4k²+1，
由，消去k，得，
即x²=4（y-1），
∴點(diǎn)Q的軌跡方程是x²=4（y-1）．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)．考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查函數(shù)與方程思想，化歸與轉(zhuǎn)化思想．