Question

【題目】如圖，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，∠ADC=120°，AB=2CD=2，平面D1DCC1垂直平面ABCD，D1C⊥AB，M是線段AB的中點．
（Ⅰ）求證：D1M∥面B1BCC1；
（Ⅱ）若DD1=2，求平面C1D1M和平面ABCD所成的銳角的余弦值．

Answer 1

【答案】證明（Ⅰ）因為四邊形ABCD是等腰梯形，且AB=2CD，所以AB∥DC．
又由M是AB的中點，因此CD∥MB且CD=MB．
在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，因為CD∥C1D1 ， CD=C1D1 ，
可得C1D1∥MB，C1D1=MB，所以四邊形BMD1C1為平行四邊形，
因此D1M∥BC1 ． 又D1M平面B1BCC1 ， BC1平面B1BCC1 ，
所以D1M∥平面B1BCC1
（Ⅱ）解：方法一：如圖（2），連接AC，MC．

由（Ⅰ）知CD∥AM且CD=AM，
所以四邊形AMCD為平行四邊形，
可得BC=AD=MC，
由題意∠ABC=∠PAB=60°，
所以△MBC為正三角形，
因此AB=2BC=2，CA= ，
因此CA⊥CB．
又D1C⊥AB，CD∥AB，故D1C⊥CD，而平面D1DCC1垂直平面ABCD且交于CD，則D1C⊥平面ABCD
以C為坐標原點，建立如圖（2）所示的空間直角坐標系C﹣xyz
由DD1=2得D1C= ，所以A（ ，0，0），B（0，1，0），D1（0，0， ）
因此M ，所以 ， 設平面C1D1M的一個法向量為 ，
可得平面C1D1M的一個法向量
又 為平面ABCD的一個法向量
因此
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為
方法二：由（Ⅰ）知平面D1C1M∩平面ABCD=AB，過點C向AB引垂線交AB于點N，

連接D1N，如圖（3）．
由D1C⊥AB，CD∥AB，故D1C⊥CD，
而平面D1DCC1垂直平面ABCD且交于CD，
則D1C⊥平面ABCD，
可得D1N⊥AB，
因此∠D1NC為二面角C1﹣AB﹣C的平面角
在Rt△BNC中，BC=1，∠NBC=60°，可得CN= ．
所以ND1= = ．
在Rt△D1CN中，cos∠D1NC= ，
所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角（銳角）的余弦值為
【解析】（Ⅰ）證明AB∥DC．說明以四邊形BMD1C1為平行四邊形，推出D1M∥BC1 ． 然后證明D1M∥平面B1BCC1（Ⅱ）方法一連接AC，MC．以C為坐標原點，建立空間直角坐標系C﹣xyz，求出相關的坐標，求出平面C1D1M的一個法向量，平面ABCD的一個法向量，利用空間向量的數量積求解二面角的平面角的余弦函數值．方法二：說明∠D1NC為二面角C1﹣AB﹣C的平面角，通過在Rt△D1CN中，求解即可．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面平行的判定的相關知識點，需要掌握平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行才能正確解答此題．