Question

【題目】設函數f（x）=|x-a|+x，其中a＞0．

（1）當a=3時，求不等式f（x）≥x+4的解集；

（2）若不等式f（x）≥x+2a2在x∈[1，3]恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）{x|x≤-1或x≥7}；（2）-1

【解析】

（1）分情況去絕對值解不等式可得；

（2）由題意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，再按照a與區間[1，3]的關系分3種情況討論．

（1）當a=3時，不等式f（x）≥x+4，即|x-3|+x≥x+4，即|x-3|≥4，

x≥7或x≤-1

故不等式f（x）≥x+4的解集為{x|x≤-1或x≥7}

（2）由題意可得：|x-a|≥2a2在x∈[1，3]恒成立，

①當a＜1時，則x-a＞0，∵x-a≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴1-a≥2a2，解得-1；

②當1≤a≤3時，∵|x-a|≥2a2在x∈[1，3]上恒成立，∴當x=a時，0≥2a2，解得a=0舍去；

③當a≥3時，則x-a＜0，∴-x+a≥2a2在[1，3]上恒成立，∴-3+a≥2a2，此不等式無解；

綜上，-1．