Question

（2013•浙江模擬）已知A，B是雙曲線

x2

4

-y2=1的兩個頂點，點P是雙曲線上異于A，B的一點，連接PO（O為坐標原點）交橢圓

x2

4

+y2=1于點Q，如果設直線PA，PB，QA的斜率分別為k₁，k₂，k₃，且k1+k2=-

15

8

，假設k₃＞0，則k₃的值為（　　）

• A．1
• B．

  1

  2

• C．2
• D．4

Answer 1

分析：由雙曲線

x2

4

-y2=1可得兩個頂點A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），則

x 2 0

4

-

y

2 0

=1，可得

x 2 0 -4

4

=

y

2 0

．于是k_PA+k_PB=

y0

x0+2

+

y0

x0-2

=

2x0y0

x 2 0 -4

=

x0

y0

．同理設Q（x₁，y₁），由k_OP=k_OQ得

y0

x0

=

y1

x1

．得到k_QA+k_QB=-

x1

y1

．可得k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，由kPA+kPB=-

15

8

，可得k_QA+k_QB=

15

8

．又k_QA•k_QB=-

b2

a2

，聯立解得k_QA．

解答：解：由雙曲線

x2

4

-y2=1可得兩個頂點A（-2，0），B（2，0）．設P（x₀，y₀），則

x 2 0

4

-

y

2 0

=1，可得

x 2 0 -4

4

=

y

2 0

．
∴k_PA+k_PB=

y0

x0+2

+

y0

x0-2

=

2x0y0

x 2 0 -4

=

x0

y0

．
設Q（x₁，y₁），則

x 2 1

4

+

y

2 1

=1，得到

x 2 1 -4

4

=-

y

2 1

．
由k_OP=k_OQ得

y0

x0

=

y1

x1

．
∴k_QA+k_QB=

y1

x1+2

+

y1

x1-2

=

2x1y1

x 2 1 -4

=-

x1

y1

，
∴k_PA+k_PB+k_QA+k_QB=0，
∵kPA+kPB=-

15

8

，∴k_QA+k_QB=

15

8

…①
又k_QA•k_QB=-

b2

a2

=-

1

4

…②
聯立①②解得k_QA=2＞0．
故選C．

點評：熟練掌握雙曲線、橢圓的標準方程、斜率的計算公式及其有關結論是解題的關鍵．