Question

（本題滿分12分）
在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點，如下左圖。將沿AB折到的位置，使，點E在SD上，且，如下右圖。
（1）求證：平面ABCD；
  （2）求二面角E—AC—D的正切值；
（3）在線段BC上是否存在點F，使SF//平面EAC？若存在，確定F的位置， 若不存在，請說明理由。

Answer 1

,F（2，1，0）為BC的中點

解法一：（1）證明：在上左圖中，由題意可知，
為正方形，
所以在上右圖中，，
四邊形ABCD是邊長為2的正方形，
因為，ABBC，
所以BC平面SAB，          （2分）
又平面SAB，
所以BCSA，
又SAAB，
所以SA平面ABCD， （4分）
  （2）在AD上取一點O，使，連接EO。
因為，所以EO//SA
所以EO平面ABCD，
過O作OHAC交AC于H，連接EH，
則AC平面EOH，
所以ACEH。
所以為二面角E—AC—D的平面角，

在中，

，
      即二面角E—AC—D的正切值為  （9分）
（3）當F為BC中點時，SF//平面EAC，
理由如下：取BC的中點F，連接DF交AC于M，
連接EM，AD//FC，
所以，又由題意
SF//EM，又平面EAC，
所以SF//平面EAC，即當F為BC的中點時，
SF//平面EAC  （12分）
解法二：（1）同方法一（4分）
（2）如圖，以A為原點建立直角坐標系，
A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）
      易知平面ACD的法向為
設平面EAC的法向量為

由，
所以，可取
所以  （7分）
所以
所以
即二面角E—AC—D的正切值為   （9分）
（3）設存在，
所以SF//平面EAC，
設
所以，由SF//平面EAC，
所以，所以0，
即，即F（2，1，0）為BC的中點      （12分）