Question

（2010•舟山模擬）一個半徑為1的小球在一個棱長為4

6

的正四面體容器內可向各個方向自由運動，則該小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是

72

3

．

Answer 1

分析：小球與正四面體的一個面相切時的情況，易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，正四面體的棱長為4

6

，故小三角形的邊長為2

6

，做出面積相減，得到結果．

解答：解：考慮小球與正四面體的一個面相切時的情況，
易知小球在面上最靠近邊的切點的軌跡仍為正三角形，
正四面體的棱長為4

6

故小三角形的邊長為2

6

小球與一個面不能接觸到的部分的面積為

1

2

×4

6

×4

6

×

3

2

-

1

2

×2

6

×2

6

×

3

2

=18

3

，
∴幾何體中的四個面小球永遠不可能接觸到的容器內壁的面積是4×18

3

=72

3

故答案為：72

3

點評：本題考查棱柱的結構特征，本題解題的關鍵是看出小球的運動軌跡是什么，看出是一個正三角形，這樣題目做起來就方向明確．