Question

設關于x的一元二次方程x²+2ax+b²=0.
（Ⅰ）若a是從0，1，2，3四個數中任取的一個數，b是從0，1，2三個數中任取的一個數，求上述方程有實根的概率.
（Ⅱ）若a是從區間［0，3］任取的一個數，b是從區間［0，2］任取的一個數，求上述方程有實根的概率.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

本題考查的知識點是幾何概型與古典概型，根據已知條件計算全部基本事件的個數（幾何量）和滿足條件的基本事件的個數（幾何量）是解答概率問題的關鍵．（1）（2）中沒有結論或假設扣2分。
（1）由于a∈{0，1，2，3}，b∈{0，1，2}，則基本事件總數為3X4=12種，其中滿足條件方程有實根，即△≥0，即a²+b²≥4共有8種，代入古典概型公式，即可得到答案．
（2）由于a∈[0，3]，b∈[0，2]，則基本事件對應的平面區域面積為3X2=6，其中滿足條件方程有實根，即△≥0，即a²+b²≥4的平面區域面積為6-π，代入幾何概型公式，即可得到答案．
解 設事件A為“方程x²+2ax+b²=0有實根”.
當a≥0,b≥0時，方程x²+2ax+b²=0有實根的充要條件為a≥b.
（1）基本事件共有12個：
（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）.
其中第一個數表示a的取值，第二個數表示b的取值.
事件A中包含9個基本事件，事件A發生的概率為
P（A）==.
（2）試驗的全部結果所構成的區域為
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2}.
構成事件A的區域為
{(a,b)|0≤a≤3,0≤b≤2,a≥b}.
所以所求的概率為
P(A)==.