Question

已知函數f（x）=xlnx，（x＞0，且x≠1）
（Ⅰ）求函數r(x)=

1

f(x)

的單調區間；
（Ⅱ）若對任意的n∈N₊，都有a_n＞0，且a₁+a₂+…+a₂₀₁₃=2013e（e為自然對數的底），求f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求定義域，然后求導數，利用導數求單調區間．
（Ⅱ）構造新函數，利用導數求函數的最值．

解答：解：（Ⅰ）r(x)=

1

f(x)

=

1

xlnx

，r′(x)=-

1+lnx

(xlnx)2

，所以函數的定義域為（0，1）∪（1，+∞）．
當x∈(0，

1

e

)時，r'（x）＞0．r（x）單調遞增；當x∈(

1

e

，1)和x∈（1，+∞）時，r'（x）＜0，r（x）單調遞減．
（Ⅱ）當a₁=a₂=…=a₂₀₁₃=e時，f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）取得最小值2013e，
    下面給予證明：
   函數f（x）=xlnx在x=e處的切線方程為y=2x-e
  令g（x）=f（x）-（2x-e）=xlnx-2x+e，g'（x）=lnx-1，
  則函數y=g（x）在x∈（0，e）單調遞減，在x∈（e，+∞）單調遞增
  當x=e時，y=g（x）取得最小值為0，即f（x）≥2x-e恒成立．
  故f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）≥2（a₁+a₂+…+a₂₀₁₃）-2013e≥2013e
   當且僅當a₁=a₂=…=a₂₀₁₃=e取得最小值．此時f（a₁）+f（a₂）+…+f（a₂₀₁₃）取得最小值2013e．

點評：本題的考點是函數的單調性與導數之間的關系，以及利用導數研究函數的最值問題，構造函數是解決本題的關鍵．