Question

【題目】設(shè)e為圓錐曲線的離心率，F(xiàn)為一個焦點(diǎn)，l是焦點(diǎn)所在的對稱軸，O是l上距F較近的頂點(diǎn)，又M、N是l上滿足的兩點(diǎn)。求證：對曲線的過點(diǎn)M的任一條弦AB(A、B為弦的端點(diǎn))，直線l平分NA和NB的一組夾角。

Answer 1

【答案】見解析

【解析】

以O(shè)為原點(diǎn)、OF為x軸正向建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)|OF|=s，則曲線的方程為

又因?yàn)镺F°0M+ 0F°ON= (1-e)0M°ON已限定M、N異于點(diǎn)O，且當(dāng)為橢圓或雙曲線時，M、N異于的中心(否則，有OF=(1-e)0M或OF=(1-e)ON，矛盾).故可設(shè)，知N.

又設(shè)直線：

其中θ的取值只須保證式②與有公共點(diǎn).

將式②代入①并整理，可得.

.

當(dāng)點(diǎn)A、B存在時，設(shè)所對應(yīng)的參數(shù)分別為，則，

且由韋達(dá)定理知 ③

由式②可知,.

為證直線l平分NA和NB的一組夾角，只須證明直線NA和NB的斜率互為相反數(shù).

這等價于證明

而此式恰等價于式③.故結(jié)論成立.