Question

【題目】設O為坐標原點，點P的坐標為，

（1）若在一個盒子中，放有標號為1，2，3的三張卡片，現從此盒中有放回地先后抽到兩張卡片的標號分別記為x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；

（2）若利用計算機隨機在[0，3]上先后取兩個數分別記為x，y，求P點在第一象限的概率；

（3）從原點O出發的某質點,按向量移動的概率為，按向量移動的概率為，求可到達點的概率.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

記抽到的卡片標號為，列出所有的情況，然后分別求出的值，從而得到最大值，設事件為“取到最大值”，根據滿足事件的兩種情況即可求得概率

求出點落在第一象限所構成區域的面積，然后求出基本事件空間所表示的區域的面積，計算二者的比值即可

結合題意推導出，求證數列是以為首項，為公比的等比數列，運用累加法求出結果

（1）記抽到的卡片標號為（x，y），所有的情況分別為，（x，y）取值為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3）

相應的P（x-2，x-y）為：（-1，0），（-1，-1），（-1，-2），（0，1），（0，0），（0，-1）（1，2），（1，1），（1，0）共9種.可知|OP|的最大值為

設事件A為“|OP|取到最大值”，

則滿足事件A的（x，y）有（1，3），（3，1）兩種情況，

（2）設事件B為“P點在第一象限”

若則其所表示的區域面積為

由題意可得事件B滿足，

即如圖所示的陰影部分，

其區域面積為

（3）點到達點有兩種情況：

第一：從點按向量移動到點；

第二：從點按向量移動到點，

所以，，

變化后得：，

所以數列是以為首項，為公比的等比數列。

所以

所以運用累和法得：

＝