Question

在△ABC中，已知B=45°，D是BC上一點(diǎn)，AD=5，AC=7，DC=3，求AB的長．

Answer 1

分析：法一：先在△ADC中用余弦定理求出∠ADC的余弦值，進(jìn)而求出∠ADC，再根據(jù)互補(bǔ)求出∠ADB，然后在△ABD中用正弦定理就可求出AB的長；
法二：先在△ADC中用余弦定理求出∠ACD的余弦值，在根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系求出∠ACD的正弦，然后在△ABC中用正弦定理就可求出AB的長．

解答：解：法一：在△ADC中，由余弦定理得：cos∠ADC=

32+52-72

2×3×5

=-

1

2

∵∠ADC∈（0，π），∴∠ADC=120°，
∴∠ADB=180°-∠ADC=60°
在△ABD中，由正弦定理得：AB=

ADsin∠ADB

sinB

=

5sin60°

sin45°

=

5 6

2

法二：在△ADC中，由余弦定理得cos∠ACD=

32+72-52

2×3×7

=

11

14

∵∠ACD∈（0，π），∴sin∠ACD=

1- cos2∠ACD

=

5 3

14

在△ABC中，由正弦定理得：AB=

ADsin∠ACD

sinB

=

7× 5 3 14

sin45°

=

5 6

2

故答案為：

5 6

2

點(diǎn)評：法一和法二都考查了正弦定理和余弦定理結(jié)合去解三角形，不同點(diǎn)在于第一步選擇求的角不一樣，導(dǎo)致了兩種不同的解法．