Question

下列命題：
①   ②   ③ |·|=||·||   ④若∥∥則∥   ⑤∥，則存在唯一實數λ，使   ⑥若，且≠，則   ⑦設是平面內兩向量，則對于平面內任何一向量，都存在唯一一組實數x、y，使成立。   ⑧若|+|=|－|則·=0。   ⑨·=0，則=或=
真命題個數為（    ）

A．1

B．2

C．3

D．3個以上

Answer 1

B

【錯解分析】共線向量、向量的數乘、向量的數量積的定義及性質和運算法則等是向量一章中正確應用向量知識解決有關問題的前提，在這里學生極易將向量的運算與實數的運算等同起來，如果認為向量的數量積的運算和實數一樣滿足交換律就會產生一些錯誤的結論。
【正解】①正確。根據向量模的計算判斷。
②錯誤，向量的數量積的運算不滿足交換律,這是因為根據數量積和數乘的定義表示和向量共線的向量，同理表示和向量共線的向量，顯然向量和向量不一定是共線向量，故不一定成立。
③錯誤。應為
④錯誤。注意零向量和任意向量平行。非零向量的平行性才具有傳遞性。
⑤錯誤。應加條件“非零向量”
⑥錯誤。向量不滿足消去律。根據數量的幾何意義，只需向量和向量在向量方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無數多個。
⑦錯誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量是不共線的向量即一組基底。
⑧正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對角線相等，即四邊形為矩形。故·=0。
⑨錯誤。只需兩向量垂直即可。
綜上真命題個數為2，故選B
【點評】在利用向量的有關概念及運算律判斷或解題時，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據向量的運算律解答，要明確向量的運算和實數的運算的相同和不同之處。一般地已知ａ，ｂ，с和實數λ，則向量的數量積滿足下列運算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ  (交換律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）  (數乘結合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с  (分配律)