Question

已知橢圓上的點(diǎn)到左右兩焦點(diǎn)的距離之和為，離心率為.

（1）求橢圓的方程；

（2）過右焦點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若軸上一點(diǎn)滿足，求直線的斜率的值.

 

Answer 1

（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)與離心率可求得a，b，c的值，從而就得到橢圓的方程；（2）設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立消去y可得到關(guān)于x的一元二次方程，然后利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與分類討論的思想進(jìn)行解決．

試題解析：（1），∴，

，∴，∴，

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．

（2）已知,設(shè)直線的方程為，-，

聯(lián)立直線與橢圓的方程，化簡得：，

∴，，

∴的中點(diǎn)坐標(biāo)為．

①當(dāng)時(shí)，的中垂線方程為，

∵，∴點(diǎn)在的中垂線上，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線方程得：

，即，

解得或 ．

②當(dāng)時(shí)，的中垂線方程為，滿足題意，

∴斜率的取值為.

考點(diǎn)：1、橢圓的方程及幾何性質(zhì)；2、直線與橢圓的位置關(guān)系．